Zinsen berechnen: Einfache Verzinsung, Zinseszins & Zinsarten

Zinsberechnung: Einfacher und exponentieller Zins

Die Zinsen spielen in unserer Gesellschaft eine tragende Rolle. Ob in den Medien oder bei der Finanzanlage: Zinsen werden immer wieder genannt. Für Anleger gibt es keinen Weg an diesem Konzept vorbei. Doch die wenigsten Menschen wissen, wie das mathematische Verfahren zur Berechnung von Zinsen eigentlich genau funktioniert.

Bei der einfachen Zinsrechnung werden der anfallende Zinsbetrag und das zu verzinsende Kapital (Kredit oder Sparguthaben) nicht miteinander addiert. Bei der Zinseszinsrechnung (exponentielle Verzinsung) werden die Zinsen jedoch zum Grundbetrag hinzuaddiert. Sie werden dann in der weiteren Verzinsung mitberücksichtigt. Der Unterschied scheint zunächst vernachlässigbar, ist jedoch gravierend.

Erklärt anhand eines Beispiels

Legt ein Anleger einen Betrag von 10 Euro zu einer jährlichen Verzinsung von 5 Prozent an, erhält er nach einem Jahr einen Zinsgewinn in Höhe von 0,50 Euro. Da der Anleger sein Geld über einen längeren Zeitraum investieren möchte, lässt er sich die Rendite nicht auszahlen, sondern fügt sie dem Guthaben hinzu. Dieses ist dann für das zweite Jahr auf 10,50 Euro angewachsen.

Am Ende der zweiten Periode erhält unser Anleger wieder die 5 Prozent Zinsen auf das Gesamtguthaben. Der Zinsgewinn entspricht nun 0,52 Euro. Es kann nun vom Zinseszins gesprochen werden. Denn der Gewinn der ersten Periode wird im zweiten Jahr mitverzinst. Auch wenn der tatsächliche Mehrgewinn in diesem Beispiel nur 0,02 Euro beträgt, so sind die Auswirkungen umfangreich.

Welches Potenzial in der exponentiellen Verzinsung steckt − insbesondere bei längeren Anlagehorizonten −, zeigt das Gedankenexperiment vom Josephspfennig.

Der Josephspfennig

Das Gedankenspiel des Josephspfennig wurde 1772 vom englischen Ökonom Richard Price aufgestellt und verbildlicht das Wachstum eines langfristig angelegten Vermögens durch Zinseszins. Er ging davon aus, dass der Vater Christi zur Geburt seines Sohnes jeweils einen Cent zu einem jährlichen Zinssatz von 5 Prozent anlegte. Dieses Geld liegt bis heute auf der Bank. Durch den Zinseszins beschleunigt sich die Rate des Wachstums mehr und mehr.

Ein Cent, dessen Zinsgewinne dem Guthaben hinzuaddiert und weiter verzinst würden, käme nach 2.000 Jahren Laufzeit auf die unglaubliche Summe von 23.911.022.046.136.196.279.738.609.537.102.053.900.288 Euro. Das sind knapp 24 Sextilliarden. Hätte Joseph sich seinen Zinsgewinn jedes Jahr auszahlen lassen, würde sein Guthaben heute gerade einmal 1,01 Euro betragen. Das Beispiel vom Josephspfennig verdeutlicht: Bei exponentieller Verzinsung ist die Langfristigeit ausschlaggebend.

Formel für die einfache Verzinsung

Die Formel zur Berechnung einfacher Zinsen ohne Zinseszinsen (lineare Verzinsung) lautet:

K n = K 0 + K 0 ⋅ n ⋅ i = K 0 ⋅ ( 1 + n ⋅ i ) {displaystyle K_{n}=K_{0}+K_{0}cdot ncdot i=K_{0}cdot (1+ncdot i)}

Startkapital x (Laufzeitjahre x Zins + 1) = Endkapital

Hat der Anleger ein Startkapital von 10.000 Euro mit einer jährlichen Verzinsung von 2 Prozent über zwei Jahre angelegt, ergäbe sich folgende Zinsberechnung:

10.000 x (2 x 0,02 + 1) =

= 10.000 x 1,04 = 10.400

Der Anleger erhält zu den genannten Konditionen insgesamt 400 Euro Zinsen nach zwei Jahren.

Formel zur Berechnung des Zinseszins (exponentieller Zins)

Die Formel zur Zinsberechnung exponentieller Zinsen ist ein wenig komplizierter:

K n = K 0 ⋅ ( 1 + i ) n = K 0 ⋅ q n {displaystyle K_{n}=K_{0}cdot (1+i)^{n}=K_{0}cdot q^{n}}

Wert am Laufzeitende = Anlagewert * (1+Zins) Laufzeit

Für das Beispiel (10.000 Euro Startkapital, 2 Prozent Zins, zwei Jahre Laufzeit) ergäbe sich folgender Rechensatz:

10.000 x [(1 + 0,02) x (1+ 0,02)]

= 10.000 x [1,02 x 1,02]

= 10.000 x 1,0404 = 10.404

Der Anleger erhält zu den genannten Konditionen insgesamt 404 Euro an Zinsen, was einen Zinseszinseffekt von „nur” 4 Euro ausmacht. Anhand des Josephspfennig-Beispiels wird jedoch klar, dass dieser Effekt nach einigen Jahren mehr ins Gewicht fallen würde.

Die Zinsberechnung gestaltet sich nicht so leicht wie in dem obigen Beispiel? Ist dies der Fall, lohnt sich der Rückgriff auf einen der zahlreichen Zinsrechner, die sich im Internet finden lassen.

Was sind Zinsen?

Der Begriff Zinsen allgemein bezeichnet jenes Engelt, welches für die befristete Überlassung von Kapital verlangt wird. Da es unterschiedliche Arten von Zinsen gibt, gibt es folglich auch unterschiedliche Grundlagen zur Berechnung dieser. Damit Zinsen zustande kommen, benötigt man immer einen Kreditgeber sowie einen Kreditnehmer. Das heißt, einerseits besteht eine Kreditnachfrage, anderseits ein Kreditangebot.

Hierbei wird zudem zwischen Sparzinsen und Kreditzinsen unterschieden. Der Sparer stellt seine Spareinlagen der Bank frei zur Verfügung. Im Gegenzug dazu erhält er von der Bank Sparzinsen gutgeschrieben. Möchte hingegen eine Privatperson einen Kredit von einer Bank − etwa für eine Finanzierung −, muss diese Kreditzinsen bezahlen, welche die Bank für das Zuverfügungstellen des Kapitals erhält.

Die verschiedenen Zinsarten

Der Kreditnehmer zahlt dem Gläubiger für das Überlassen des Kapitals Zinsen. Meistens wird der Zinssatz für ein Jahr berechnet und in Prozent ausgewiesen. Aus Sicht des Kreditnehmers ist das an die Bank entrichtete Geld ein Sollzins. Um diesen Sollzinssatz zu modifizieren, hat der Gesetzgeber mit Blick auf den Verbraucherschutz weitere Zinsarten eingeführt:

• gebundener Sollzins
• variabler Sollzins
• effektiver Zins
• Realzins

Gebundener Sollzins und Nominalzins: Was ist der Unterschied?

Der gebundene Sollzinssatz ist ein Festzins für einen bestimmten Zeitraum der Kreditlaufzeit. Man kann ihn auch für die gesamte Laufzeit des Kredits angeben. „Gebunden” ist er, weil für die gesamte Laufzeit oder bestimmte Intervalle ein oder mehrere Sollzinssätze fest vereinbart sind. Sollzins und Nominalzins sind dasselbe. Früher war der Begriff „Nominalzins” üblich.

Der gebundene Zinssatz bietet eine bessere Planbarkeit über die gesamte Laufzeit des Kredits. Bei einem klassischen Ratenkredit ist der Sollzins für die gesamte Laufzeit des Darlehens gebunden.

Variabler Sollzins und Abgrenzung zum Nominalzins

Dagegen ist ein variabler Sollzins für den Kreditnehmer immer mit der Gefahr einer kurzfristigen Zinserhöhung verbunden. Dennoch entscheiden sich manche Kreditnehmer hierfür, da variable Soll-Zinssätze bei Vertragsabschluss zunächst niedriger sind als der gebundene Zins zum selben Zeitpunkt. Kreditverträge mit variablem Sollzins haben außerdem den Vorteil, dass sie jederzeit mit einer Frist von drei Monaten gekündigt werden können.

Typische Kreditverträge mit variablem Sollzins sind Dispositionskredite und Rahmenkredite. Hier können sich die Zinssätze täglich ändern. In der Praxis wird dieses theoretische Risiko jedoch etwas gemindert, indem man bestimmte Vereinbarungen über Zinsintervalle trifft. Beispielsweise kann man vereinbaren, dass der variable Sollzinssatz alle drei Monate an den Marktzins angepasst wird.

Was ist der effektive Jahreszins?

Der effektive Jahreszins (Effektivzins) ist der Zinssatz, der verschiedene Kreditangebote am besten vergleichbar macht. Bei der Berechnung werden sämtliche Kreditkosten berücksichtigt, die jährlich auf die nominale Kreditsumme anfallen. Die Preisangabenverordnung bestimmt, welche Kosten im Effektivzinssatz berücksichtigt werden müssen. Diese genauen Vorgaben ermöglichen dem privaten Kreditnehmer, verschiedene Angebote besser zu vergleichen.

Folgende Kosten fließen in die Berechnung des Effektivzinssatzes mit ein:

• Sollzinssatz
• Tilgung
• Disagio
• Zahlungsfähigkeit
• Bearbeitungskosten
• Vermittlungsprovisionen
• bei einem Immobilienkredit: Kosten für einen Gutachter
• weitere Kosten nach §6 PankV

Die Verordnung enthält auch Kosten, die nicht in den Effektivzins enthalten sein dürfen. Hierzu gehören beispielsweise bestimmte Kontoführungsgebühren oder Kosten für Versicherungen. Die Kosten für Restschuldversicherungen dürfen nur berücksichtigt werden, wenn sie für den Vertragsabschluss zwingend notwendig sind. Dies ist jedoch selten der Fall.

Was ist ein Realzins?

Der Realzins gibt die Wertänderung einer verzinsten Geldanlage an, nach Abzug der Inflation (oder Deflation). Er gibt die Differenz zwischen einem Guthabenzins einer Kapitalanlage und der Inflationsrate in Prozent an.

Wenn Verbraucher in verzinste Kapitalanlagen investieren, müssen sie den Realzins im Auge behalten, um Verluste zu vermeiden. Denn eine Geldanlage mit hoher Guthaben-Verzinsung kann dennoch nach Abzug der Inflationsrate netto einen Verlust erwirtschaften.

Was ist der Leitzins?

Zuletzt ist noch der Leitzins zu erwähnen. Dies ist der von Zentralbanken einseitig festgelegte Zinssatz, zu dem die Banken ihre Interbankengeschäfte abwickeln. Es ist das wichtigste Instrument der Geldpolitik von Zentralbanken. Der Leitzins hat keinen direkten Einfluss auf die Kreditmarktzinsen. Jedoch ist zu beobachten, dass wenn der Leitzins fällt, irgendwann die Kreditzinsen nachziehen und auch fallen.

Eine Anpassung des Leitzinses wird in der Regel vorgenommen, um die Wirtschaft anzukurbeln bzw. die Inflation zu verringern. Für den Euro-Raum kontrolliert die Europäische Zentralbank (EZB) diese Vergabe. Eine Anpassung des Leitzinses hat sofortige Auswirkungen auf den Wert der Währung.

Was ist der Basiszinssatz?

Der Basiszinssatz ist ein variabler Zins, der halbjährlich von der Deutschen Bundesbank veröffentlicht wird. Dieser dient der Bewertung von Kapitaldienstleistungen. Die Deutsche Bundesbank berechnet ihn nach den Vorgaben der Europäischen Zentralbank jedes Halbjahr neu und macht ihn anschließend amtlich.

Mit der amtlichen Bekanntmachung gilt der Basiszinssatz als amtlicher Marktzins. Er bildet insbesondere für den Verzugszinssatz die Bewertungsgrundlage und definiert damit die von einer Bank maximal zu erhebenden Verzugszinsen. Der Verzugszinssatz setzt sich zusammen aus dem Basiszinssatz der Deutschen Bundesbank und einer gesetzlich festgelegten oder einem vertraglich vereinbarten Zinssatz. Der Basiszinssatz stellt das aktuelle Marktniveau und damit den Marktzinssatz dar. Aktuell liegt der Basiszinssatz bei -0,88 Prozent (gültig seit  dem 1. Januar 2019).

Zinsrechnung: Anwendung der Berechnungsgrundlagen

Es gibt verschiedene Anwendungen für die Zinsrechnung. Häufige Produkte sind Kredite, Hypotheken, Tagesgeldkonten und das gute alte Sparbuch.

Berechnung eines Kredits

Für Kredite und Darlehen zahlt man einen speziellen Zins. Dieser steht für die Kosten der Finanzierung. Man unterscheidet im Kreditwesen zwischen dem gebundenen Sollzins und dem effektiven Zins. Dabei ergibt sich der gebundene Sollzinssatz aus dem aktuellen Marktzinssatz am Kreditmarkt.

Sollzins

Die Bonität des Antragstellers, der Kreditbetrag und die Laufzeit des Kredits beeinflussen den Sollzinssatz. Der Effektivzinssatz wird von weiteren Kriterien beeinflusst. So kommen dort auch die Bearbeitungsgebühren für das Darlehen mit in den Vergleich. Es gibt online viele Zinsrechner, egal ob für einen Privatkredit, Autokredit oder als Baufinanzierungsrechner. Diese Zinsrechner vergleichen verschiedene Angebote in Bezug auf Sollzinssatz und Effektivzinssatz. Der Sollzins ist meist in der Kreditrate enthalten. Diese werden gewöhnlich monatlich von Kreditnehmer bezahlt.

Für die Berechnung des Sollzinssatzes benötigt man die Höhe des Kapitals, den Zeitraum und den Zins:

1. Zins berechnen:          p = (z * 100) / K
2. Zins nach Monaten:   p = (z * 100 * 12) / (K * m)
3. Zins nach Tagen:         p = (z * 100 * 360) / (K * t)

z = Zinsen / K = Kapital / p = Zinssatz / t = Zeitraum

Kalkulation der Tilgung

Basis der Zinsberechnung ist die verbleibende Restschuld. Da der Kreditnehmer seine Schuld monatlich reduziert, reduziert sich monatlich die Basis für die Zinsberechnung. Das bedeutet, dass die Tilgung des Kredits bei konstanten Kreditraten zunimmt. Eine monatliche Tilgung ist einer jährlichen zu bevorzugen, da sie für den Kreditnehmer den beschriebenen finanziellen Vorteil ermöglicht.

Effektivzins

In die Berechnung des Effektivzinssatzes fließen neben dem Sollzinssatz weitere Faktoren, wie etwa die Bearbeitungsgebühren des Kredits oder ein mögliches Disagio (Abschlag vom Kreditbetrag) mit ein.

Folgende Kosten dürfen nicht in den Effektivzins einfließen:

• Kontoführungsgebühren der Bank
• Kosten für Wertgutachten
• Vermittlerprovisionen
• Restschuldversicherung

Der Effektivzinssatz ist gut geeignet, um verschiedene Kreditangebote miteinander zu vergleichen, da hier Kreditkosten mitberücksichtigt werden.

Zinsrechnung beim Tagesgeld

Das Tagesgeldkonto einer Bank ist umso attraktiver, je höher die Verzinsung ist. Die Jahreszinsen auf das Tagesgeld werden wie folgt ermittelt:

Zinsen pro Jahr = (Anlagekapital * Zinssatz) / 100

Wenn zum Beispiel eine Tagesgeldanlage in Höhe von 20.000 Euro ein Jahr lang mit 2,3 Prozent verzinst wird, gilt:

Zinsen pro Jahr = (20.000 Euro * 2,3) / 100 = 460 €

Falls der Kontostand auf dem Tagesgeldkonto nicht das ganze Jahr über konstant bleibt, kann man die Tageszinsen berechnen. Die Formel für die Berechnung der Tageszinsen lautet:

Zinsen für t Tage = (Anlagekapital * Zinssatz * t) / (100 * Tage pro Jahr)

Wenn Sie beispielsweise 20.000 Euro vom 1. Januar 2019 bis zum 1. April 2019 mit 2,3 Prozent angelegt hätten, dann würde für die Berechnung der Tageszinsen gelten:

Zinsen für 90 Tage = (20.000 Euro * 2,3 * 90) / (100 * 365) = 113,42 €

Einfachkeitshalber arbeiten manche Banken mit reduzierten Formeln für den Tageszins. Sie unterstellen beispielsweise für das Kalenderjahr 360 Tage und für jeden Monat 30 Tage.

Die Hypothek und ihre Zinssätze

Im Internet findet man viele kostenlose Hypothekenrechner, um eine flexible Berechnung der Immobilienfinanzierung durchzuführen. Im Vergleich zum einfachen Kreditrechner, welcher einfache Ratenkredite abbildet, können die Hypothekenrechner komplexere Annuitätendarlehen mit konstanter Rückzahlungsrate und Zinsbindung abbilden. Interessierte können mit den Online-Hypothekenrechnern ihre Immobilien- oder Baufinanzierungen planen. Zu komplex wäre es, selber mit Formeln alle Variablen und Sonderfälle zu berechnen.

Folgende Komponenten des Hypothekenkredits kann der Zinsrechner bei Bedarf ermitteln:

• Anfangstilgung
• Ratenhöhe
• Darlehensdauer
• maximaler Darlehensbetrag
• Sollzins
• Sondertilgungen
• Restschuld nach Ablauf der Sollzinsbindung

Das Ergebnis ermöglicht einen guten Vergleich zwischen unterschiedlichen Darlehensgeboten. Es wird ein detaillierter Tilgungsplan mit Zinsen und Gebühren und dem effektiven Jahreszins berechnet. Ebenso können verschiedene Zeiträume, Anschlussfinanzierungen oder individuelle Sonderzahlungen berücksichtigt werden.

Das Sparbuch

Mit den Online-Sparbuch-Rechnern hat man flexible Zinsrechner für unregelmäßige Einzahlungen auf das Sparbuch und für variable Zinssätze. Damit kann der Sparer Zinserträge und Guthaben für einen längeren Zeitraum berechnen. Es spielt keine Rolle, ob es sich um die einmalige Einzahlung von Geld oder um monatliche Sparraten handelt. Auch eventuelle Entnahmen können berücksichtigt werden. Die Zinsperioden sind flexibel. Man kann neben der üblichen jährlichen Zinsgutschrift auch auf halbjährliche, quartalsweise oder monatliche Zinsgutschriften umstellen.

Weiterhin kann man sich zwischen der einfachen Verzinsung und der exponentiellen Verzinsung entscheiden. Doch üblicherweise fließt die Zinsgutschrift zum Ende des Jahres dem Guthaben zu und wird mitverzinst. Es liegt damit eine Berechnung von Zinseszinsen vor. Als Ergebnis erhält der Sparer seine Guthabenentwicklung wahlweise in Jahres- oder Monatsscheiben vorgelegt.